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            高考数学热点题型考点解析,数学考前复习重点

            来源:新东方高考研究院

            作者:

            高考数学热点题型考点解析

            潘逸飞

              本文内容是高考数学热点题型的考点解析,给大家讲一些大家应该注意到的高考一些热点的话题,应该涉及的一些点,把重点的东西给大家挑出来说一说。

              先来说选填部分的内容,基本上像集合、复数,这两个模块同学们主要需要掌握的题型,那么另外需要同学尤其注意的是,最近在考试当中抽象的几何和有关于复数它本身抽象的定义,也就是说Z不给你它是3+I4+I了,就抽象一些,这个是需要大家注意的,那么遇到抽象的我们说处理的方式其实是比较统一,基本上都是化抽象为具像,可以举出来一个满足条件的例子,这样我们用具体的东西来处理,比如说大家可以回忆一下八省联考当中的第一个集合题,包括第十个复数的题,我说的其实就这两个题,如果大家对八省联考还不太熟悉,因为有老高考的同学,所以这个时候我跟大家要说的一点就是从历史上来看,高考命题有时候会交叉,什么意思呢?就是说老高考命题的试卷它可能会参考一些新高考的,因为就是利用一个信息差。比如说我是老高考的,那么新高考的多选题是不是跟我就一点关系都没有?所以可能利用大家一个知识的盲区他去出这么样一个题,这个是其实有据可循,2019年的题它有的时候会参考二卷的题参考三卷考区的模拟卷,所以这个时候大家尽可能去多见,当然如果大家现在时间不够的话,你就把这些点回去再看一看,那么这是有关于集合复数的,我们不会单独的出题来给大家说,那么其他的比如说是向量,向量这种题基本上去考虑坐标法,这是我们想给大家说的一个点,那么这是向量。那么除此之外,我说的简单的题大概就是选择题的前8个题,当然对于新高考的同学来说,就是前12个里面包含多选题里面的前两个这样一共8个题大家可以自行去看。

              那么先给大家说的这个例一,实际上是我认为比较重要的一个内容,就是抛物线的交点弦,那么有关于抛物线的交点弦步需要让大家记住的,就是抛物线交点弦的计算公式,这个弦长AB等于2P比上sin阿尔法的平方,同学还需要大家注意到一个结论,就是AF分之一,加BF分之一等于P分之2,这是两个需要大家注意的结论,那么我们回到这个题目当中来说,他说已知抛物线是Y方=8X,交点的坐标是F(2,0)以F为圆心,以I为半径做一个圆F如果如图所示,直线AB经过F,并且与圆F交与MN两点,与抛物线交于AB两点,这个时候问你,大家看图就好了AN+2BM的最小值是多少,所以这个时候这个题目就用到了我说的第二个结论,这可能是大家的一个盲点,希望同学能够积累一下,那这是什么呢?那就是AN+2BM,它等于什么呢?它就等于AF+1+2BF+1,那么这时候你看到了AF和B F满足这样一个关系,其中P是多少?P是4,那么它就等于二分之一。在这个题目里面,它等于二分之一,所以这个式子我就可以写成什么呢?AF+2BF乘以一个2倍的AF分之一,加上BF分之一,那么这个时候往后再做,当然后边还加一个3,所以这个地方是在基本不等式当中,我们提到的所谓的1的代换, 这是需要大家注意的,那么往后做我就不再说了,所以这个点就或者交点弦的这个知识点,大家需要额外的去注意一下,这是我想通过这个题目想给大家说的,那我们继续往后看下一个。

              

              下一个这个题是在数学文化当中想给大家分享的祖暅原理,它说南北朝时期,著名的数学家祖暅提出了祖暅原理,叫做幂势既同,则积不容异,意思是夹在两个平行平面当中的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面的面积相等,那么这两个几何体的体积相等,所以使用祖暅原理有两个条件。

              第一个条件是夹在两个平行平面之间的几何体,也就是要求这两个几何体的高是一样的,那么第二个要求的条件是截面的面积相等,所以满足两个条件得到的几何体的体积就是相同的,这是祖暅原理。那么这个题目相对来说题干比较长,给大家解释的祖暅原理也比较全面,再下边它还给大家介绍的一个球体的体积,我们是怎么计算的,我们都知道球体的体积是三分之四πr的立方,那球体的体积怎么算?就是用祖暅原理算的,那么半球的体积是三分之二πr的立方,那这个它的体积跟谁相等?就是跟一个圆柱体减去一个锥体,那么这就是前序的一些东西,那这里呢,涉及到了两个体,我在这个题目当中给大家是一个椭球体,所谓椭球体就是把一个椭圆绕着Y轴转了一周,得到的这么一个橄榄球或者叫椭球,都一样。那这个体的体积就提示大家一下,像这个题目当中它也说了,类比上述方法,所以你类比上述方法怎么类比?首先我们求球的时候,我们没有求一整个球而是先求了半个球,所以那这样的话我类比这种方法我们也先求一半,然后再类比,球是怎么算的?是圆柱减圆锥,那椭球怎么算?我如果类比这种方法的话,它应该就是一个圆柱,还是一个圆柱,还减去一个圆锥,那么这时候圆柱的高是多少,因为祖暅原理要求幂势既同,也就是它的高要一样,所以这个椭球体的高是3,半个椭球体就是3,所以你画的这个圆柱体的高应该是9,那么它的底面半径应该是多少?跟这个椭圆的短轴应该是一样的,就是2,所以这个时候柱体你也找到了,锥体你也找到了,这体积就找到了,有的同学会问,说老师满足它各个截面的面积相等吗?是相等的,我给大家提一下这个知识点是大家需要掌握的。

              下面再看例题三,例题三是一个立体几何的问题,那么立体几何的问题,提示大家注意这些动点的问题、折叠的问题、交线的问题,当然如果一个立体几何的题目,涉及到了动点、折叠和交线,那通常意味着这个题目的难度会比较大,所以这个时候呢,同学要根据你自己的实际情况,你可以稍微的少花一点点时间去做,不用在这个时间点还纠结这种特别难的东西,当然这个题本身还是比较有意思的,那么来看一下这个题,它说如图所示,在矩形ABCD当中,E是AB的中点,好了,在立体几何当中尤其你要注意中点,看到中点之后我一定要想到有没有可能会用到中位线,这是一种自然而然的想法大家应该要保持住,那么同时它说将三角形ADE沿着DE翻折,成为三角形A1DE,然后M也是一个中点,所以你又看到了中点,那中点就要想中位线,那跟M相关的中位线我一定会取谁,CD的中点比如说我们取成F对不对,那这样的话呢,MF就是个中位线,那同时,EF是这个矩形当中对边中点的连线,所以你能知道EF也是垂直于AB的,它就把这矩形分成了相等的两部分,这是我们做立体几何题目的一个习惯,就是我一边读题我就要想这些东西它可能会用到什么样的知识点,立体几何的题目不像别的题,你要把题目全部读完了之后,带着问题再去思考,不用,你一边读题就把常用的手段先给它标出来,当然提示大家在考试的过程当中尽量不要在答题纸上涂涂划划,你不要把答题纸涂的千奇百怪千疮百孔的,一定要在你的草稿纸上先写好了确定没问题了你再写。那么我们来看继续往后读,他说在三角形翻折的过程当中,下列命题错误的是什么,所以命题错误的它是一个单选题,那我反过来问你下列命题正确的是,这就是一个多选题,所以我一直强调不要拘泥于这题是个多选题我就不做,或者说这个题是单选题那这是一个老高考的题,稍微我一变,它就能变成单选或者多选,所以这个的时候需要提醒大家注意,那么你先看第一个题,他说BM的长度是一个定值,然后他说点M在圆上运动,好,这两个选项如果你就算是不会做,你也能知道这题肯定不在AB里头选,为什么?因为BM要是定值,那么点M就在一个圆上运动,BM是定值那B点固定的,BM的长度又是固定的,所以它就是以B为圆心,以BM为半径的圆,所以这两个选项是一个同源的选项,要么都错要么都对,作为单选题而言那就肯定知道在AB不能选,然后再看CD选项,那先看看D选项,一定存在某个位置使得MB平行与平面A1DE,那存在这样的位置吗?一定存在,我把MF一连,那么这个时候的话BF是平行于DE的,并且MF一定是平行于AED的,所以我就知道了平面BMF一定平行于这个平面A1DE,那两个平面都平行了根据面面平行的性质,这形状不是一定平行的吗?所以这样的话看似复杂的AB两个选项,实际上AB选项我根本就不考虑了,我知道它要么都对要么都错,所以D选项又是对的所以肯定选C选项,这题就结束了。那么我们简单的说一下为什么BM是定值,这是这个题目里边比较优秀的一个方法。你看在这个题里面,MF是不是平行于AED,对吗?好,BF我问你是不是平行与DE,你说这个F点是怎么找到的,就是在题目中我看到了中点就想中位线,好了,这时候的话所以我说角,哪个角啊?MFB,就永远等于角A1DE,为什么?因为平行,这有点像E面直线所成角的那个意思,当然跟它还稍微有点区别,所以角是相等的,那你再看边,那这时候MF的长度是不是永远等于二分之一AED?固定不变吧,翻折的过程当中,BF的长度是不是等于DE的长度也是不变的,所以这个时候的话MF的长度是固定的,BF的长度是固定的,那个夹角MFB也是固定的,那对于解三角形来说,两边一角都是固定的,这个三角形就确定了,所以BM的长度是定值了,那么BM是定值M就在圆上运动对吧,这是一个顺理成章的事情,所以这个时候例题三我们就说完了。

              那么谈到了交线这个问题,我们说遇到了交线,特别是交线长的时候,同学们注意这个是考察过的,那么你要记住,只要问你交线长,这个交线肯定就是两者当中的一个,要么它是直线,要么它就是,为什么说交线就只有这两种,特别是问你交线长度的时候呢,因为除了直线和弧的长度大家都不会算。所以这种思考问题的方式是从我掌握的知识的角度去考虑的,既然别的我都不会算,那肯定就是这两个里面的一个,这是给大家的一个提示,那什么时候是弧什么时候直线?如果是个选择题的话,你就看这个轨迹里边带不带π,带π那就是个圆,不带π的那大概率是个直线,这是我给大家从思路上提示一下。

              再来看下一个例题,例题四,这个题基本上在各地的考卷当中,圆锥曲线就是三个题比较稳定,那除了八省联考的时候出过一次双曲线当解答题的,除此之外解答题一般就是两个,椭圆是考得最多的,当然二卷里面也考双曲线,也考这个抛物线,这是最高频的两个线,然后这个前面的选填部分就是两个题,一个题考你抛物线或者是椭圆这就看解答题里面考了谁,剩一个就是前面那个,那另一个就是双曲线,大家做题你也能感觉到,双曲线的位置大概就是选择题的11题,填空题的15题基本上就是倒二这个位置,就最近几年没有见过双曲线压轴的,但是倒二的位置它还是能占上的,那么说到了双曲线它如果作为一个倒二的题目出现,那么这个时候大家一定要记住双曲线当中就是数形结合,什么是数形结合?就提示一下大家,如果它作为一个选填出现,通常不用韦达定理,我们简单看一下这个题,它说双曲线的右顶点是A,以A为圆心以B为半径作圆,且圆A和双曲线的一条渐近线交于MN两点,若这些条件则双曲线的离心率是多少,那这个时候做这样的题目我们一定是要画图的,大家画图的时候还是画在草稿纸上,这个双曲线给它画出来,那它说右顶点为A,把A点标出来它的坐标A0,以B为半径作圆,且A与双曲线一条渐近线交于MN两点,所以我们把它渐近线画出来,那这时候这个圆就会交于MN两点,它说向量ON等于3倍的向量NM,所以这样的话NM我就可以写成NO加上OM,那就得到了4倍的向量ON,等于向量OM,因为M在远处N在近处,它是一个1:4的关系,我们再怎么去做,那么这就提到了我说的那句话,就是我们一般不连例,我们就是用它里边几何的一些关系去做,那有什么几何关系,首先AN、AM这两个长度都是B,那A到这个直线的距离我们能求出来吗?可以,点到线的距离,线的方程也知道,点的坐标也知道,所以这个高度也能知道,那这个点我们把它起个名字,比如说就叫P点,所以根据勾股定理,AP是知道的,然后AM、AN都是知道的,所以NP和MP这两个长度都能算,用勾股定理算,那这两个长度可计算的时候我们再来看,ON和OM是4:1的关系,所以这个的4倍是NM,所以NM就是3倍,3倍的ON,这时候这两个长度我是知道了,这两个长度知道了之后,那ON的长度是不是我就能表示了,那么这个时候是不是说N点还在这个双曲线的渐近线上,那我再利用这个条件是不是就能得到一个等式,那这样的话往后是不是就能计算离心率了,当然我这么分析可能会稍微有点快,大家可以理解一下这个题目,你可以回头自己尝试做一下,这就是我们想说的,双曲线当中的尽量多的用图去解决,而不用连例的方式去解决,为什么?其实我的这个方法论一直都是固定的,因为如果你要连例做那么就会跟解答题的思路产生重复,那作为一个高考卷而言我们肯定不希望用两个题考察同一个知识点,所以我们说它大概率是不可能用连例的方式,同时也提示大家在双曲线当中尤其要注意什么呢?尤其要注意,渐近线的倾斜角,特别渐近线的倾斜角是30度、60度、45度、135度这种特殊角,那么往往你利用它的这个特殊角度会在你解题过程当中收到奇效,第二个希望大家注意的就是,在渐近线当中就注意它一个对称性,这也是考试的时候很可能会考的。

              接下来我们说一说解答题,这个部分的东西相对来说会更多一些,主要把重要的点给大家点出来,首先就是在解三角形当中,需要大家注意的就是首先是中线,ABCD,D是中点,那么这个时候向量AD就等于二分之一向量AB加向量AC,所以AD的长度就等于二分之一根号下AB+AC,它扩出的平方,就是向量AB的平方加上2倍的向量AB点乘向量AC加上向量AC的平方,它等于谁呢?二分之一根号下,AB就是C的平方加AC,AC就是B的平方,再加上2倍的BC乘以cosA,所以你看到这个形式,C方加B方加2BCcosA,这个跟跟余弦定理有点像,但它不是余弦定理,它是计算中线长的公式,这是中线,那么中线可以推而广之,推广到A、B、C、D是BC上的任意一点,满足BD:CD等于浪目达(音),所以这时候我可以写出来这是浪目达这是1,就是按比例写的,所以我马上可以写向量AD就等于1除以浪目达加一倍的向量AB加上浪目达除以浪目达加1倍的向量AC,这里有特点,这个比例关系这里是浪目达这里是1,那对应的AC这里的系数就是它,然后AB上面的系数对应的就是它,这是一个交叉对应的关系,那分母都是1+浪目达,那这里是向量当中的一个等和线,这个也是书上,作为大家使用新版教材书上的一个利器,所以它如果安排在高考当中考察呢,其实合情合理,这是有关于中线和BC上面任意一点需要大家掌握的,除此之外就是角平分线需要大家掌握一个关系,角平分线需要大家掌握什么呢?这是B,这是A,这是C,这是D,有的同学说为什么你这个不以A开头呢?因为上面那个题是以B的,好,BD为角平分线,所以这个时候需要掌握的是什么?你看我过这儿做垂直做垂直,DE、DF,角平分线一定要用到角平分线上的点,到角的两边距离相等,所以就是DF等于DE,好,那么跟角平分线相关的,最常用的是这么一个公式,叫二分之一ACsinB,这是谁?它的面积对吧,等于二分之一DE乘以AB,那就是A加C乘以它的高,高是谁呢?DE或者DF,DE、DF是谁呢?是BD乘以sin二分之B,什么意思?那就是在今年的考试当中如果遇到了,人家问你角平分线是多少对吧?我们经常用的是什么呢?经常用的是中线长,你会算,那如果人家告诉你角平分线,让你去求角平分线,那你要想到用这么一个公式,用它的面积去计算,在这个式子当中你会发现,只要我知道角B、知道A知道C,我就能确定它的角平分线,这是我确定了AC边上的角平分线,那其他边上的角平分线道理也是一样的,当然这个题目因为角平分线的长度是知道的,B角是知道,二分之B也是知道的,所以呢,你能得到一个AC和A+C的关系式,那就是AC等于A+C,这是我化简完的,那么这个时候求4A+C的最小值,跟我们最开始提的那个最值问题是一样的,依然要用到的就是均值不等式,这是我想给大家说的。那么在解三角形当中,我们经常会用到均值不等式去求诸如周长的最值,面积的最值,那么这个时候的话呢,大家能想到的就是说我取面积的最值的时候,或者周长的最值的时候,一定是这个三角形是等腰三角形或者等边三角形的时候对吧,这是一个大家应该形成的感觉。

              接下来我们说一下例题九,这个题它的第二问它的新颖之处在短数列的求和,我给大家提点一下这里边需要你注意的,首先第一问它就问你一个问题,说这个数列如果它不是等比数列求AN,我们习惯于去做的一个事情是说,给你一个递推的公式,递推的关系,然后让你证明这个数列是等比数列,然后求它的通向,然后去求它的和对不对,这是咱们很熟练很熟练的一个东西,那这个题目是什么呢?首先它的递推公式叫做AN+1等于2倍的AN+1,基本上大家都能写出来,叫做AN+1+1等于2倍的AN+1,所以往常我们就写所以AN+1+1除以AN+1就等于2,所以这个数列AN+1是以A1+1为首项,以2为公比的等比数列,那么这个题目神奇之处就在于它不问你是等比,它问你什么时候不是等比数列,那什么时候不是等比数列呢?你得看这个题里有什么我们控制不住的变量,只有一个变量,就是A1+1为首相,首相我不知道是几,那换言之,首是几的时候它就不是对比数列了呢?所以若AN+1等于0,即AN等于-1时,AN+ 1不是等比数列。然后第二问,当然第二问A1等于1了,它就是一个等比数列了,它以2为首相以2为公比,所以AN就是2的N次方减去1,接下来它说在AK和AK+1之间呢插入了K个数构成了一个新的数列,A1、1,A2、35,A3、7、9、11,A4等等等等各,然后问你前50项的和是多少,所以这个时候我只提一句,短数列的求和不要求TN,什么意思呢?如果你发现这个题目,它只让你求T某某数字,那么这时候你不要直接去求它的TN是多少,然后再把N代出来,你就是它让你求到多少,你就求多少就完事了,不要多费时间多费功夫,这就是例题九。

              下面看例题十,例题十第一问相对比较简单,我只说第二问,那么关于数列不等式的证明,实际上这个是在前期,也就是之前的考试当中呢,全国卷当中出的比较少,但是最近的模拟题当中,这种题变得特别多,所以这里也提点大家一下,遇到数列的不等式我们怎么去证明,数列不等式证明起来,同学需要注意的就是,它的证明形式一般情况下会让你证明一个小于或者大于,一般都是小于,可能是一个小于常数或者是可能是小于一个含N的式子,那么通常情况下,含N的式子是比较简单的,证明它是一个常数可能相对复杂,但基本上能够出出来的东西,都比较简单,因为这个东西本身之前就不是咱们全国或者新高考的一个重点,那么这个时候的话我们重点来说一说,你像这种含N的式子怎么去证,从证明的方法来说,我们主要是使用放缩的方法,那么放缩的时候通常我们是往等比的方向放缩,或者是往列项的方向放缩,那我放缩成谁呢?其实这种含N的式子会给你一个启示,为什么?我们想证明的是不是A1的平方加一直加到AN的平方小于一个东西对吧,那我不如去证明谁呢?它小于B1+B2一直加到BN,就正好等于这个东西,所以这个时候的话,问题就变成谁呢,我是不是只要说明一下,AN的平方分之一,小于BN就行了,那BN是谁啊?我现在知道B1加到BN是三分之一减9N+3,所以BN是谁呢?所以BN就是三分之一减9N加三分之一,减去它的前一项三分之一减9N减六分之一,它是谁呢?它是3N+1乘以3N减二分之一,那AN平方比它小吗?比它小,为什么,因为你从第一问题能够想出来或者求出来它的AN的平方是3N+1的平方分之一,所以它自然的就小于这个东西,对吧,你直接去想,为什么我要把它放缩成它,而不放缩成3N,或者3N减1或者别的东西,对吧,为什么我就直接想到这个东西呢?你就看答案它会这么写,它其实是可以从这里推出来,这也就是说我为什么说含N的式子会比较简单呢?因为你可以比较直观地判断出来的我到底应该往哪个方向放缩,这是我想给大家说的。

              那么本文的内容就到这里结束了,距离高考应该也只剩下20多天了,那祝愿,衷心地祝愿在座的各位同学能在最后的20多天里边,继续努力,努力到开考前的最后一刻,取得一个令自己满意的成绩,考上一个自己心仪的学校,祝愿各位同学晚安、高考愉快。

            文章更新时间:2021-05-19

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